Superfícies de Curvatura Constante em R^3

 

Recomendações: EDO, Geometria Diferencial, Análise Complexa e EDP.

Resumo: Neste curso daremos os principais teoremas de classificação de superfícies completas com curvatura gaussiana ou média constante. Começaremos relembrando algumas generalidades sobre superfícies no espaço euclidiano, como a obtenção das equações de estrutura, que serão utilizadas ao longo do curso, ou a noção de índice dum campo de vetores.

Continuaremos com a classificação de superfícies completas com curvatura gaussiana constante. com os principais resultados da classificação de superfícies de curvatura média constante, dentre eles, os Teoremas de Hopf e Alexandrov; Klotz-Ossermann e a teoria de classificação de Korevaar-Kusner-Meeks-Solomon de superfícies de curvatura média constante adequadamente incorporadas.

Conteúdos: 1.- Superfícies em R^3; equações de estrutura 2.- Superfícies em R^3; índice de um campo de vetores e Teorema de Gauss-Bonnet 3.- Classificação de superfícies de curvatura de Gauss constante; Teorema de Liebman 4.- Classificação de superfícies de curvatura de Gauss constante; Teorema de Pogorelov / Hartman-Nirenberg 5.- Classificação de superfícies de curvatura de Gauss constante; Teorema de Hilbert 6.- Classificação de superfícies de curvatura média constante; Teorema de Hopf 7.- Classificação de superfícies de curvatura média constante; Teorema de KlotzOsserman 8.- Principio de Reflexão de Alexandrov e Principio do Máximo Geométrico 9.- Classificação de superfícies de curvatura média constante; Teorema de Alexandrov 10.- Estimação de Altura Geométrica 11.- Lema de Separação de Meeks 12.- Classificação de superfícies de curvatura média propriamente mergulhadas.

Referências:

– H. Hopf. Differential geometry in the large, volume 1000. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1983.

– Robert Osserman, A Survey of Minimal Surfaces, Dover Publications, 2002.

– Michael Spivak, A comprehensive introduction to differential geometry, Publish or Perish, inc., 1979.