15/02/2023

Na Folha, confira o quebra-cabeça de Leonhard Euler

Foto: Domínio Público

Reprodução da coluna de Marcelo Viana na Folha de S. Paulo

Em 1782, o matemático suíço Leonhard Euler (1707–1783) formulou um quebra-cabeças que lembra um pouco o passatempo sudoku. Seis regimentos do exército têm seis oficiais cada um, de seis patentes distintas. Como esses 36 oficiais podem ser organizados num quadrado 6-por-6 de tal modo que em cada linha do quadrado estejam todos os regimentos e todas as patentes e o mesmo valha em cada coluna?

Se trocarmos o número N de regimentos e patentes para 3 (9 oficiais) ou 4 (16 oficiais), é bem fácil encontrar soluções (experimente!), e Euler também descobriu como resolver o problema quando N é 5 (25 oficiais) ou 7 (49 oficiais). Mas o caso dos 36 oficiais resistiu a todos os seus esforços. “Após todo o trabalho para resolver este problema, fomos obrigados a reconhecer que tal arranjo é absolutamente impossível, embora não consigamos provar tal fato”, lamentou-se.

Na verdade, a prova demorou 129 anos: foi encontrada pelo matemático francês Gaston Tarry em 1901. Outra demonstração de que o problema dos 36 oficiais é impossível foi dada em 1934 pelos estatísticos britânicos Ronald Fischer e Frank Yates, cujo interesse pela questão era muito curioso: eles queriam estudar estatisticamente o efeito de seis fertilizantes diferentes sobre seis tipos de colheitas agrícolas.

Para isso, conceberam um experimento realizado num terreno quadrado dividido em 36 quadrados menores idênticos: em cada quadradinho seria usado um único fertilizante em uma única colheita. Para minimizar o risco de viés, era desejável que em cada linha e cada coluna estivessem todas as colheitas e todos os fertilizantes. Isso quer dizer que para implementar o experimento seria necessário resolver o problema de Euler!

Apesar de não ter resolvido, Euler avançou bastante no problema, mostrando que sempre existe solução quando o número N de regimentos e patentes é da forma 4n, 4n+1 ou 4n+3, onde n é um número inteiro.

Ficou faltando N=4n+2, que inclui o caso N=6. Durante muito tempo os especialistas acreditaram que nesses casos nunca existiria solução. Mas essa “conjectura de Euler” não era correta: em 1959, os norte-americanos R. C. Bose, S. S. Shrikhande e E. T. Parker mostraram, com a ajuda de computadores, que sempre existe solução exceto, curiosamente, no caso N=6.

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