Superfícies Complexas

Superfícies complexas são variedades complexas compactas de dimensão 2. Sua classificação foi dada por Kodaira na década de 1960, em uma série de artigos difíceis. Os principais resultados da classificação de Kodaira foram aprimorados por Buchdahl e Lamari na década de 1990, que usaram os avanços na teoria pluripotencial, obtidos por Demailly, Nadel e Siu. Agora, a imensa obra de Kodaira pode ser apresentada de uma forma mais compacta (e mais consistente).

Começarei com a prova do teorema de Gauduchon, construindo uma métrica especial em uma classe conforme de uma forma hermitiana em qualquer variedade complexa compacta. Então, introduzirei as correntes e prosseguirei para o teorema de Buchdahl-Lamari, alegando que qualquer superfície complexa com $b_1$ par é Kahler. Se o tempo permitir, usarei os resultados de Buchdahl-Lamari para provar a versão de Kahler do teorema de Nakai-Moishezon e terminarei com o teorema da estrutura para superfícies elípticas não-Kahler. Eu assumiria o conhecimento básico da teoria de Hodge e equações elípticas, mas declararei todas as definições e resultados relevantes e explicarei seu contexto.

Programa:
1. Princípio do máximo de Hopf

2. Teorema de Gauduchon sobre a existência e unicidade da métrica de Gauduchon

3. Algumas noções de teoria de espaços vetoriais topológicos: espaços de Frechet, espaços de Montel, dualidade forte e fraca, espaços reflexivos. Espaço de correntes e sua reflexividade.

4. Correntes positivas, números de Lelong, teorema de regularização de Demailly.

5. Decomposição de Hodge em superfícies não-Kahler, critérios de dualidade de Harvey-Lawson-Sullivan para a existência de métricas especiais em variedades complexas, teorema de Buchdahl-Lamari.

6. (*) Versão de Kahler do teorema de Nakai-Moishezon: descrição do cone de Kahler.

7. (*) Classificação de superfícies não-Kahler e o teorema de estrutura para fibrações elípticas não-Kahler.

O site do curso é  http://verbit.ru/IMPA/Surfaces-2025/

 

Refereências:
Buchdahl e Lamari na década de 1990, que usaram os avanços em teoria pluripotencial, obtida por Demailly, Nadel e Siu. Agora a imensa obra de Kodaira pode ser apresentado de forma mais compacta (e mais maneira consistente).