Em coluna na Folha, Viana fala sobre ‘a felicidade nos números surreais’
Reprodução da Coluna de Marcelo Viana na Folha de São Paulo.
No livro “Números Surreais: Como dois ex-estudantes se dedicaram à matemática pura e encontraram a felicidade completa”, publicado em 1974 por Donald Knuth, Alice e Bill estão fazendo uma longa viagem para se encontrarem. Está indo bem, mas a felicidade não é plena: após tantos dias de férias, ambos sentem falta de um desafio. É então que encontram na praia uma pedra com uma inscrição antiga…
Embora o nome do personagem, Conway, não pareça hebraico, o texto tem semelhanças desconcertantes com o Livro do Gênesis: “No princípio era o vazio e Conway começou a criar números. E Conway disse: ‘Que haja duas regras que darão origem a todos os números, grandes e pequenos. A primeira regra será que cada número x corresponde a um par (Ex,Dx) de conjuntos de números previamente criados, tais que todo elemento do conjunto Ex é menor do que todo elemento do conjunto Dx. E a segunda regra será que x é menor ou igual do que y se todo elemento de Ex é menor do que y e todo elemento de Dy é maior do que x’. E Conway viu que essas regras eram boas.”
Os dois jovens se lançam com entusiasmo à tarefa de entender esses “números surreais” de Conway. Logo percebem que eles contêm os inteiros, as frações, e até os irracionais, em suma, todos os números reais que eles conhecem da faculdade.
Mas o mais excitante é que as duas regras produzem muito mais números, que eles não conheciam. Lá estão todos os infinitos descobertos por Georg Cantor, o enumerável ω e todos os infinitos não enumeráveis. Também estão todos os infinitamente pequenos, maiores do que zero, mas menores que todos os reais positivos.
Logo o jovem casal se apercebe de que o mundo dos números surreais contém muito, muito mais. Na verdade, é tão fabulosamente grande que os matemáticos não o consideram um conjunto: preferimos usar a denominação mais neutra de “classe”. Isso também quer dizer que a tarefa de criar esses números é necessariamente muito longa: sem chance de Conway poder descansar no sétimo dia…
Mas Alice está irrequieta por outra razão: “Por que estas coisas são números? Para serem números eles precisam poder ser somados, multiplicados, esse tipo de coisas.”
Partindo da segunda regra de Conway, o casal consegue provar que a classe dos números surreais é ordenada —dados dois surreais distintos quaisquer, um deles é maior do que o outro— tal como acontece com o conjunto dos números reais. Mas a pedra de Conway está quebrada e as regras da adição e da multiplicação estavam no pedaço que falta…
Leia na íntegra no site da Folha de São Paulo.
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