Folha: ‘A harmonia das potências perfeitas’

 

 

Um número inteiro positivo é chamado potência perfeita se for uma potência (quadrado, cubo etc.) de outro inteiro positivo. Em outras palavras, as potências perfeitas são os números da forma m^a em que tanto a base, m, quanto o expoente, a, são inteiros maiores do que 1. Em 1844, o matemático Eugène Charles Catalan afirmou que entre todas as potências perfeitas, as únicas que são inteiros consecutivos são 8=2³ e 9=3². Essa conjectura iria desafiar matemáticos do mundo todo por mais de século e meio.

 

Catalan (1814–1894) nasceu na bela cidade de Bruges, hoje parte da Bélgica, mas na época sob dominação holandesa. Ainda criança, mudou-se com a família para Paris, onde, em 1833, ingressou na renomada École Polytechnique e conheceu o excelente matemático Joseph Liouville (1809–1882). Ao final do ano seguinte, ele e a maioria dos colegas, esquerdistas e republicanos, foram expulsos pelo governo conservador monárquico da época. Mas, com a ajuda de Liouville, Catalan pôde retomar os estudos alguns meses depois, vindo a concluir a graduação em matemática em 1841.

 

À medida que se tornava professor e pesquisador, ele continuou politicamente ativo, chegando a ser eleito deputado. No entanto, hoje é lembrado sobretudo por seu trabalho em matemática, especialmente a famosa conjectura. Em 1865, ele regressou à Bélgica como professor da Universidade de Liège, cidade onde faleceu.

 

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O problema da conjectura é ainda mais antigo: em 1343, o pensador judeu Levi ben Gershon (1288–1344), mais conhecido como Gersonides, já tinha provado que entre todos os números da forma 2ª ou 3^b, os únicos que são inteiros consecutivos são 8=2³ e 9=3². Em outras palavras, Gersonides mostrou que a conjectura é verdadeira se nos restringirmos às potências de base 2 ou 3. Mas remover essa restrição, considerando também todas as demais bases, torna a questão bem mais difícil.

 

Em 1976, o holandês Robert Tijdman encontrou um valor N tal que a conjectura de Catalan vale sempre que a base ou o expoente forem maiores do que N. Teoricamente, a partir daí só faltaria testar cada um dos números menores ou iguais a N, que são em número finito. Mas o N de Tijdman é colossalmente grande, então o número de casos é demasiado grande para qualquer computador testar.