Temas de Pesquisa

Álgebra

As pesquisas em Álgebra no IMPA têm sido realizadas nas seguintes áreas:

• Álgebra Comutativa
• Geometria Algébrica
• Teoria dos Números
• Teoria das Representações

A Geometria Algébrica estuda a classificação, as propriedades de interseção e as singularidades de conjuntos definidos por equações polinomiais a várias variáveis. Tem origem no estudo das curvas e superfícies definidas por tais equações. Neste aspecto, tem muitas ligações com o estudo das variedades analíticas e diferenciais. Muitos de seus métodos são tipicamente da Topologia Algébrica e de certas partes da Análise. Em aspecto local, a Geometria Algébrica pode ser expressa na linguagem da Álgebra Comutativa. No aspecto global, lança mão de métodos cohomológicos, os quais têm influenciado outras áreas da Matemática.

A Teoria dos Números teve seu impulso inicial na busca de soluções inteiras e racionais de equações a coeficientes inteiros (equações diofantinas). Entre outras coisas, isso levou ao estudo das extensões algébricas finitas do corpo dos números racionais e ao estudo da aritmética das variedades algébricas.

Os esforços para resolver abstratamente certos problemas que surgiram na Geometria Algébrica e na Teoria dos Números Algébricos deram origem à Álgebra Comutativa, cujos objetivos principais são a classificação dos anéis comutativos e a determinação de suas estruturas segundo propriedades geométricas, aritméticas e algébricas.

Os resultados alcançados nestes tópicos de pesquisa fundamental têm encontrado ampla aplicação, por exemplo, nas áreas de criptografia e códigos corretores de erros.

A Teoria das Representações visa estudar estruturas algébricas abstratas representando-as como simetrias em espaços lineares. Muitos sistemas físicos são invariantes sob determinados grupos abstratos de simetrias. A Teoria da Representação tem por objetivo descrever essas simetrias de forma concreta como transformações lineares de espaços vetoriais. Seu poder reside na simplificação de muitos problemas de Álgebra abstrata, reduzindo-os a problemas mais simples de Álgebra Linear. Como tal, tem amplas aplicações em muitos outros ramos da Matemática e outras ciências, desde Análise de Fourier e Geometria Algébrica à Teoria dos Números e Formas Automórficas, através do programa de Langlands.

Análise e Equações Diferenciais Parciais

A Análise se desenvolveu a partir do processo de passagem ao limite no Cálculo Diferencial e Integral. Um dos seus objetivos principais  é a resolução das equações diferenciais e integrais, caracterizando o espaço de soluções e assegurando a convergência dos métodos de solução por aproximação. Muitas de suas técnicas foram posteriormente unificadas na Análise Funcional, na qual os espaços de funções são considerados de forma abstrata.

A Análise é ferramenta indispensável na Física,  na Geometria, na Engenharia e em praticamente todos  os domínios das aplicações da Matemática.
As principais  áreas de pesquisa desenvolvidas no IMPA atualmente são:

Equações Diferenciais Parciais da Física Matemática

São estudadas equações de evolução não lineares, como as de Korteweg-de Vries, Benjamin-Ono, Navier-Stokes e Euler, e são abordados aspectos como a existência de soluções, a unicidade, a dependência dos dados iniciais e o comportamento assintótico. Outro tema importante é a equação de Schrödinger com funções hamiltonianas dependentes do tempo, que é estudada através das propriedades espectrais dos operadores associados.

Problemas Inversos e Aplicações

A teoria de problemas inversos se dedica à determinação de parâmetros ou funções que entram em modelos físicos com base em propriedades ou observações das soluções das equações que caracterizam tais modelos. Em geral, os modelos considerados levam a equações diferenciais parciais, cuja solução requer a utilização de métodos numéricos conjuntamente, com técnicas analíticas. A área de problemas inversos tem sido objeto de grande atividade recente e tem interfaces multidisciplinares com aplicações, por exemplo, em tomografia computadorizada, geofísica, semicondutores e finanças quantitativas.

Sólitons e Análise Não Linear

Sólitons são ondas de grande amplitude que se propagam em meios não lineares e interagem sem mudanças substanciais na sua forma. Esta teoria se desenvolveu acentuadamente a partir da década de 1970, buscando compreender a surpreendente robustez deste fenômeno e desenvolver as suas inúmeras aplicações, que vão da engenharia ótica à transmissão de sinais.

Computação Gráfica

O Projeto Visgraf de Visão e Computação Gráfica foi criado em 1989 para promover e desenvolver as atividades de pesquisa, ensino e desenvolvimento de projetos nas áreas afins que envolvem modelos geométricos e imagens.

O interesse do IMPA pela Computação Gráfica datava de uns dez anos antes, no início da década de 1980, quando foi adquirido um terminal gráfico Textronix, que atualmente faz parte da coleção histórica do laboratório. O Visgraf adota a filosofia de que esta área é um ramo aplicado da Matemática. Como tal, o grupo está muito interessado nos fundamentos matemáticos da Computação Gráfica e em suas aplicações.

As áreas principais de pesquisa do Laboratório são:

• Análise e Processamento de Imagens;
• Síntese de Imagens e Visualização;
• Modelagem Geométrica e Interação;
• Animação e Multimídia.

Segue-se um resumo mais detalhado das linhas de pesquisa em execução pelo grupo.

Modelagem e Visualização

• Estruturas de Malhas Hierárquicas;
• Superfícies de Subdivisão 4-8;
• Síntese de Formas em Multiescala;
• Textura Dinâmica de Superfícies Implícitas.

Visão e Processamento de Imagens

• Árbitro Virtual;
• Quantização de Imagens;
• Meio-tom Digital com curvas de preenchimento do espaço.

Animação e Multimídia

• Visorama: Realidade Virtual com Panoramas;
• Captura e Processamento de Movimento;
• Deformação e Metamorfose de Objetos Gráficos;
• Cenários Virtuais e Composição de Imagens.

Interfaces e Aplicações

• VisMed: Visualização e Análise de Imagens Médicas;
• Fotografia 3D;
• Visualização de Dados Geográficos;
• Bancos de Dados de Vídeo.

O Projeto Visgraf é apoiado pela FINEP, CNPq, FAPERJ, e mantém colaboração regular com o Tecgraf e o Matmídia da PUC-Rio, o CMA da École Polytechnique e o Media Research Lab, do Courant Institute of Mathematical Sciences.

Dinâmica dos Fluidos

Dinâmica dos Fluidos é uma área de pesquisa que iniciou há muito tempo, junto com Cálculo. Nela confluem técnicas de Análise Matemática — como Métodos Assintóticos, Teoria da Aproximação, Teoria da Lei de Conservação e de Equações de Reação-Difusão — e de Sistemas Dinâmicos, como Teoria de Bifurcações, entre outras.

Devido à sua relevância tecnológica e à grande gama de problemas matemáticos interessantes que origina, continua sendo uma das áreas mais importantes de Equações Diferenciais Parciais. De fato, a construção dos primeiros computadores ocorreu durante a segunda Guerra mundial com a finalidade de decodificar informação encriptada. Logo se viu que teria aplicações bem amplas, a primeira preconizada com caráter não militar foi a previsão de tempo por computador.

A partir de 1987, estabeleceu-se no IMPA um pequeno grupo de pesquisa em Dinâmica dos Fluidos com ênfase em aplicações úteis ao país que se tornou o principal em pesquisa nesta área com ênfase matemática.

As principais aplicações são:

• Recuperação de Petróleo;
• Previsão Numérica de Tempo;
• Propagação de Ondas em Meios Heterogêneos;
• Turbulência em Líquidos.

Mais detalhadamente, o grupo tem trabalhado em: Escoamento em Reservatórios Petrolíferos, Meteorologia, Propagação de Ondas Costeiras e Ondas Acústicas em meios heterogêneos, Análise Numérica, Decomposição de Domínios e Computação Paralela.

O grupo tem uma rede de colaboradores brasileiros e estrangeiros e suas atividades têm recebido apoio de diversas instituições e de agências financiadoras.

Economia Matemática

A Economia Matemática consiste na aplicação da Matemática ao desenvolvimento de modelos econômicos com o propósito de construir uma Teoria Econômica rigorosa e unificada.

As técnicas da Análise Funcional, Topologia, Topologia Diferencial são de amplo uso no modelo econômico central. A Teoria do Equilíbrio Geral, Equações Diferenciais e Sistemas Dinâmicos provêm aos economistas matemáticos as ferramentas básicas para a análise do processo ou dinâmica econômica. Probabilidade é fundamental no estudo de modelos econômicos, onde risco e incerteza estão presentes.

Aliada à Economia Matemática, tem-se a Econometria, que estuda as propriedades dos processos de geração de dados, das técnicas de análise de dados econômicos e os métodos de estimação e testes de hipóteses econômicas. Nessa área, o ferramental desenvolvido pela Estatística é central.

As principais áreas de pesquisa desenvolvidas no IMPA atualmente são:

• Equilíbrio Geral;
• Economia da Informação e Incerteza;
• Mercados Incompletos;
• Programação Dinâmica e Teoria do Capital;
• Teoria do Capital;
• Programação Dinâmica.

Geometria Complexa e Folheações Holomorfas

A teoria das equações diferenciais complexas foi iniciada no século 19 com os trabalhos de Briot e Bouquet, Poincaré, Picard, Darboux, Painlevé, Halphen e, já no início do século 20, Dulac. Quando uma equação vem dada por polinômios, ela define de maneira natural uma folheação por folhas de dimensão um no espaço euclidiano ou em uma de suas compactificações. A questão principal consiste em analisar a dinâmica das soluções (as folhas), tanto local quanto globalmente.

A pesquisa moderna na área foi retomada por Reeb na França, inspirado pelos trabalhos de Painlevé, e por Petrovsky, Landis e Iliashenko na Rússia, motivados pelo 16º problema de Hilbert. A década de 1970 trouxe intenso desenvolvimento na França, com as contribuições de Moussu, Mattei, Cerveau, Martinet e Ramis, e no Brasil, com os avanços alcançados pelo grupo do IMPA. Desde então, o grupo tem tido contribuição fundamental no estabelecimento de teoremas importantes, frequentemente com a colaboração de pesquisadores de universidades brasileiras.

Os fenômenos modelados por equações diferenciais polinomiais reais geram, de uma maneira natural, equações diferenciais complexas. A interface entre a equação real e a sua complexificada conduz a uma melhor compreensão do fenômeno modelado. Uma das razões é que o estudo do problema complexificado permite a utilização de ferramentas provenientes da Análise Complexa e da Geometria Algébrica, revelando aspectos não aparentes do problema real e produzindo resultados que podem ser interpretados no contexto original. Inversamente, o estudo de equações diferenciais do tipo Picard-Fuchs e aquelas provenientes de conexões de Gauss-Manin resulta em demonstrações rigorosas de alguns teoremas fundamentais da Geometria Algébrica, como o teorema de Noether-Lefschetz. Tais equações são satisfeitas por períodos de fibrações e deram origem à teoria de Hodge em Geometria Algébrica.

A pesquisa desenvolvida no IMPA trata de uma variada gama de problemas que vão desde questões clássicas de integrabilidade por meio de funções transcendentes até questões mais modernas sobre a dinâmica de folheações e aplicações em Geometria Algébrica e Teoria de Hodge.

Algumas linhas desta pesquisa são:

• Conjuntos limites de folheações;
• Estrutura transversal de folheações complexas;
• Folheações projetivas de codimensão um;
• Geometria birracional de folheações;
• Linearização de folheações e vizinhanças normais;
• Soluções algébricas de equações diferenciais algébricas;
• Uniformização das folhas de uma folheação complexa;
• Índices e invariantes de folheações projetivas;
• 16º problema de Hilbert e zeros de integrais abelianas;
• Equações de Picard-Fuchs e teoria de Picard-Lefschetz;
• Equações diferenciais de formas modulares;
• Variedades de Calabi-Yau;
• Ciclos de Hodge e ciclos algébricos.

Geometria Diferencial

A Geometria Diferencial consiste em aplicações dos métodos da análise local e global a problemas de Geometria.

Ela tem profundas interligações com outros domínios da Matemática, tais como Equações Diferenciais Parciais (subvariedades mínimas); Topologia (Teoria de Morse e classes características); Funções Analíticas Complexas (variedades complexas); Sistemas Dinâmicos (fluxo geodésico) e Teoria dos Grupos (variedades homogêneas). A linguagem e os modelos da Geometria Diferencial têm encontrado aplicações em domínios afins, como a Relatividade e a Mecânica Celeste. Dado ao seu caráter interdisciplinar, a Geometria Diferencial tem mostrado grande vitalidade e  se desenvolvido em várias direções, que apresentam um considerável volume de pesquisas nos dias atuais.

As principais linhas atuais de pesquisa em Geometria Diferencial são:

• Subvariedades Mínimas e de Curvatura Média Constante;
• Variedades Riemannianas;
• Imersões Isométricas.

Geometria Simplética

Geometria Simplética é um ramo da Geometria Diferencial com raízes históricas na formulação geométrica da mecânica clássica do século 19, conhecida como “formalismo Hamiltoniano”. Seus desenvolvimentos recentes são frutos de sua íntima relação com áreas diversas da Matemática (incluindo Topologia, Dinâmica e Geometria Complexa) e Física Matemática contemporâneas.

No âmbito simplético, os chamados “colchetes de Poisson” (originados nos trabalhos clássicos de Poisson, Jacobi, Lie e Hamilton) têm papel de destaque e levam ao conceito de “variedades de Poisson”, que generalizam variedades simpléticas. A geometria de Poisson tornou-se um ativo campo de pesquisa a partir dos anos 1980, combinando técnicas de geometria simplética, teoria de folheações e teoria de Lie. Por outro lado, estruturas de Poisson surgem naturalmente como limites semiclássicos de sistemas quânticos e podem ser vistas como objetos intermediários entre a Geometria Diferencial e o mundo das álgebras não-comutativas.

As principais linhas de pesquisa desenvolvidas no IMPA atualmente são:

• Geometria simplética equivariante: ações Hamiltonianas e aplicações momento;
• Variedades de Poisson e geometrias relacionadas: estruturas de Dirac e algebroides de Courant, geometria complexa generalizada;
• Grupoides e algebroides de Lie;
• Geometria de Poisson e quantização por deformação; relações com geometria não-comutativa.

Otimização

As atividades na área no IMPA começaram nos anos 1970 com o grupo então denominado Pesquisa Operacional. Atualmente, os interesses de pesquisa do grupo se concentram em otimização contínua e áreas correlatas.

Entre os tópicos específicos de pesquisa, mencionamos:

• Métodos iterativos para otimização convexa ou viabilidade convexa de grande porte, com aplicações em reconstrução de imagens a partir de projeções (por exemplo, tomografia computadorizada);
• Métodos computacionais para problemas de complementariedade não linear e desigualdades variacionais;
• Algoritmos de otimização paralela;
• Generalizações do método de ponto proximal para otimização convexa e desigualdades variacionais monótonas (incluindo recentemente casos não convexos e não monótonos);
• Novas abordagens para dualidade em programação não linear;
• Métodos não monótonos para otimização não linear.

Recentemente, foram adicionados três novos temas: novas teorias de regularidade em dimensão finita (particularmente 2-regularidade), extensões de operadores monótonos maximais, generalizando o epsilon-subdiferencial de uma função convexa, e otimização em espaços de Banach.

Probabilidade

A Teoria da Probabilidade visa, fundamentalmente, a modelagem de fenômenos sujeitos a incertezas. Sua utilização no planejamento e inferência estatística é bastante conhecida. Tem se revelado de grande importância em áreas, como Engenharia Elétrica, Teoria da Informação (detecção de sinal, controle) e Física (Mecânica Estatística, Clássica ou Quântica). Ademais, modelos, conceitos e métodos probabilísticos são hoje amplamente utilizados em Química, Ciências Sociais e Ciências Econômicas.

As principais linhas de pesquisa no IMPA são:

• Comportamento Hidrodinâmico de Sistemas de Partículas;
• Pequenas Perturbações Aleatórias de Sistemas Determinísticos;
• Percolação;
• Teorias de Grandes Desvios;
• Sistemas Markovianos com Infinitas Componentes em Interação.

Um objetivo importante é obter modelos matematicamente rigorosos que favoreçam o entendimento de questões delicadas, ligadas à Mecânica Estatística, tais como o limite hidrodinâmico. Examinam-se também conexões com problemas estatísticos de reconstrução de imagens.

Teste De Título

As principais linhas de pesquisa no IMPA são:

• Comportamento Hidrodinâmico de Sistemas de Partículas;
• Pequenas Perturbações Aleatórias de Sistemas Determinísticos;
• Percolação;
• Teorias de Grandes Desvios;
• Sistemas Markovianos com Infinitas Componentes em Interação.

Um objetivo importante é obter modelos matematicamente rigorosos que favoreçam o ente